دانلود تحقیق درمورد خواص دنباله فيبوناچي و عدد طلايي

با دانلود تحقیق در مورد خواص دنباله فيبوناچي و عدد طلايي در خدمت شما عزیزان هستیم.این تحقیق خواص دنباله فيبوناچي و عدد طلايي را با فرمت word و قابل ویرایش و با قیمت بسیار مناسب برای شما قرار دادیم.جهت دانلود تحقیق خواص دنباله فيبوناچي و عدد طلايي ادامه مطالب را بخوانید.

نام فایل:تحقیق در مورد خواص دنباله فيبوناچي و عدد طلايي

فرمت فایل:word و قابل ویرایش

تعداد صفحات فایل:61 صفحه

قسمتی از فایل:

تاريخچه

لئوناردو دا پيزا يا به عبارت مشهورتر فيبوناچي يكي از بزرگترين رياضي دانان اروپا در سال 1175 در شهر پيزا متولد شد . وي به علت حرفه پدريش كه بازرگاني بود به كشورهاي بسياري از جمله مصر و سوريه و ... مسافرت نمود . فيبوناچي در سال 1200 به زادگاه خود يعني شهر پيزا در ايتاليا مراجعت نمود.

            معرفي سيستم اعداد اعشاري به عنوان جايگزيني بسيار كارآمدتر به جاي سيستم اعداد رومي كه استفاده از آن زمان امپراطوري روم رايج بوده است از جمله مهمترين كارهاي اين رياضيدان بزرگ در طول حياتش بوده است . وي در ابتداي اولين بخش از كتاب خود به نام Liber abci در مورد اين سيستم چنين مي گويد :

            « نه رقم هندي وجود دارد : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 كه به وسيله آنها و همچنين‌علامت . كه در عربي صفر ناميده مي شود مي توان هر عددي را به شيوه هايي كه توضيح داده خواهد شد نوشت » .

            موارد قابل توجه زيادي در مورد زندگي اين رياضيدان وجود دارد كه شايد در مختصر نوشته اي در آينده با نام معرفي فيبوناچي به آنها اشاره خواهيم نمود.

            اما آنچه در اينجا موردبحث قرار خواهد گرفت دنباله اي از اعداد مي باشد كه همه ما در دوران دبيرستان با اين دنباله به عنوان يكي از مصاديق دنباله هاي بازگشتي آشنا شده‌ايم . هرچند كه اين دنباله در نگاه اول بسيار ساده و معمولي به نظر مي رسد ولي روابط و نكات قابل توجهي در مورد اين دنباله ساده وجود دارد كه ساليان است
توجه بسياري از متخصصين نظريه اعداد را به خود معطوف كرده و آنها را به شگفتي واداشته است .

2-1- دنباله فيبوناچي چيست :‌

            در دوران حيات فيبوناچي مسابقات رياضي در اروپا بسيار مرسوم بود . در يكي از همين مسابقات كه در سال 1225 در شهر پيزا توسط امپراطور فردريك دوم برگزار شده بود مسئله زير مطرح شد .

            فرض كنيم خرگوشهايي وجود دارند كه هر جفت ( يك نر و يك ماده ) از آنها كه به سن يك ماهگي رسيده باشند به ازاء هر ماه كه از زندگيشان سپري شود يك جفت خرگوش متولد مي كنند كه آنها هم از همين قاعده پيروي مي كنند . حال اگر فرض كنيم اين خرگوشها هرگز نمي ميرند و در آغاز يك جفت از اين نوع خرگوش ها در اختيار داشته باشيم كه به تازگي متولد شده اند حساب كنيد پس از n ماه چند جفت از اين نوع خرگوش خواهيم داشت .

            فرض كنيم X_n تعداد جفت خرگوش پس از n ماه باشد ، مي دانيم كه X₂=1,X₁=1  ، تعداد جفت خرگوشها در ماه n+1 ام برابر خواهد بود با حاصلجمع تعدادجفت خرگوشهايي كه در اين ماه متولد مي شوند با تعداد جفت خرگوشهاي موجود (X_n ) . اما چون هر جفت خرگوش كه از دو ماه قبل موجود بوده هم اكنون حداقل دوماه سن خواهند داشت و به سن زاد و ولد رسيده اند تعداد جفت خرگوشهاي متولد شده برابر خواهدبود با X_n-1  پس خواهيم داشت :

X₁ = 1 , X₂=1 , X_n+1=X_n+X_n-1

            كه اگر از قواعد مذكور پيروي كنيم به دنباله زير خواهيم رسيد كه به دنباله فيبوناچي مشهور است .

1,1,2,3,4,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,…

            فيبوناچي با حل اين مسئله از راه حل فوق دنباله حاصل را به جهان رياضيات معرفي كرد كه خواص شگفت انگيز و كاربردهاي فراوان آن تا به امروز نه تنها نظر رياضيدانان بلكه دانشمندان بسياري از رشته هاي ديگر را به خود جلب كرده است .

3-1- عدد طلايي چيست :‌

            پيشينه توجه به اين عدد نه به  زمان فيبوناچي بلكه به زمانهاي بسيار دورتر مي رسد. اقليدس در قضيه
سي ام جلد ششم از سيزده جلد كتاب مشهور خود كه در آنها هندسه اقليدسي را بنا نهاد اين نسبت را مطرح كرده است .

            لوكا پيشولي (Luca Pacioli ) در سال 1509 پس از ميلاد كتابي با عنوان نسبت الهي
(The Divine Propotion ) تاليف كرد . وي در آن نقاشي هايي از لئوناردو داوينچي آورده است كه پنج جسم افلاطوني را نمايش مي دهند و در آنها نيز به اين نسبت اشاره شده است .

            در اين نوشته نماد يوناني (Phi ) Ф را براي عدد طلايي برمي گزينيم . هرچند بعضي از رياضيدانان از نمادهاي ديگري مانند ( Tau ) نيز براي نمايش اين عدد استفاده نموده اند .

4-1- تعريف عدد طلايي :

            عدد طلايي عددي مثبت است كه اگر به آن يك واحد اضافه كنيم به مربع آن خواهيم رسيد و يا عددي كه يك واحد از معكوس خود بزرگتر باشد را عدد طلايي مي ناميم.  در اثر هر دو تعريف به يك معادله درجه دوم دست خواهيم يافت .

1. Phi² = Phi + 1
2. Phi = 1 + 1/Phi

اگر طرفين را در Phi ضرب كنيم خواهيم داشت :‌                                               Phi² = Phi +1

عبارت فوق از ساده ترين تعاريف براي عدد طلايي مي باشد .

            براي پيداكردن مقدار اين عدد كافي است معادله درجه دوم (1) را حل كنيم . مي توان اين معادله را از روش عمومي حل معادلات درجه دوم به آساني حل كرد و يا از راه حل زير براي آن استفاده كرد :‌